Universität Wien

250005 VO Time-Frequency Analysis (2021S)

6.00 ECTS (4.00 SWS), SPL 25 - Mathematik
Moodle

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Details

Sprache: Englisch

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Nach den derzeit geltenden Bestimmungen, wird die Vorlesung wahrscheinlich digital abgehalten werden. Um dennoch die Atmosphäre einer mathematischen Vorlesung zu schaffen, werden die Inhalte "live" über ein digitales "black board" vorgetragen. Weitere Informationen und Link werden in moodle zur Verfügung gestellt.

  • Dienstag 02.03. 11:30 - 13:00 Digital
    Seminarraum 12 Oskar-Morgenstern-Platz 1 2.Stock
  • Donnerstag 04.03. 11:30 - 13:00 Digital
    Seminarraum 12 Oskar-Morgenstern-Platz 1 2.Stock
  • Dienstag 09.03. 11:30 - 13:00 Digital
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  • Donnerstag 11.03. 11:30 - 13:00 Digital
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  • Dienstag 16.03. 11:30 - 13:00 Digital
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  • Donnerstag 18.03. 11:30 - 13:00 Digital
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  • Dienstag 23.03. 11:30 - 13:00 Digital
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  • Donnerstag 25.03. 11:30 - 13:00 Digital
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  • Dienstag 13.04. 11:30 - 13:00 Digital
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  • Donnerstag 15.04. 11:30 - 13:00 Digital
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  • Dienstag 20.04. 11:30 - 13:00 Digital
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  • Donnerstag 22.04. 11:30 - 13:00 Digital
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  • Dienstag 27.04. 11:30 - 13:00 Digital
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  • Donnerstag 29.04. 11:30 - 13:00 Digital
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  • Dienstag 04.05. 11:30 - 13:00 Digital
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  • Donnerstag 06.05. 11:30 - 13:00 Digital
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  • Donnerstag 20.05. 11:30 - 13:00 Digital
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  • Donnerstag 27.05. 11:30 - 13:00 Digital
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  • Dienstag 08.06. 11:30 - 13:00 Digital
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  • Donnerstag 10.06. 11:30 - 13:00 Digital
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  • Dienstag 15.06. 11:30 - 13:00 Digital
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  • Donnerstag 17.06. 11:30 - 13:00 Digital
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  • Dienstag 22.06. 11:30 - 13:00 Digital
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  • Donnerstag 24.06. 11:30 - 13:00 Digital
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  • Dienstag 29.06. 11:30 - 13:00 Digital
    Seminarraum 12 Oskar-Morgenstern-Platz 1 2.Stock

Information

Ziele, Inhalte und Methode der Lehrveranstaltung

Die Vorlesung bietet eine Einführung in die Theorie der Zeit-Frequenz Analyse und verwandter Themen.

Nach einer kurzen Wiederholung einiger Resultate aus der Funktionalanalysis und der Fourieranalysis, werden wir Zeit-Frequenz-Shifts und die Kurzzeit-Fourier-Transformation (STFT) kennen lernen. Diese wird das zentrale Werkzeug in dieser Vorlesung sein. Heute bildet sie, gemeinsam mit anderen Transformationen wie etwa der Wavelettransformation, einen Grundstein der modernen Signalverarbeitung und Datenübertragung (z.B. WLAN, 4G/5G).

Wir werden danach weitere "quadratische Darstellungen" einer Funktion kennen lernen und die Zusammenhänge zur STFT erläutern.

Weiters werden wir die Poisson Summenformel einführen, ein weiteres wichtiges Instrument in der Zeit-Frequenz Analyse, aber auch in der mathematischen Physik (Energieminimierung und Gitterstrukturen).

Bei der Suche nach einer "idealen Zeit-Frequenz Darstellung", werden wir die klassische Heisenberg-Pauli-Weyl Unschärferelation besprechen. Diese folgt auf natürliche Weise aus den "kanonischen Kommutatorrelationen", welche eng mit den Kommutatorrelationen der Zeit-Frequenz-Shifts verwandt sind. Darauf aufbauend werden wir weitere Unschärferelationen einführen, welche 3 "Metaprinzipien" gehorchen.

Nachdem diese fundamentalen Prinzipien besprochen wurden, werden wir uns dem Konzept der Frames widmen. Hierbei handelt es sich um eine Verallgemeinerung von Basen. Speziell werden wir auch das Konzept von Gaborsystemen und -frames einführen.

Im weiteren Verlauf der Vorlesung werden wir uns dann noch abstrakteren Themen widmen. Diese können umfassen:
- die symplektische und metaplektische Gruppe
- Darstellungstheorie der Heisenberggruppe
- relevante Funktionenräume, speziell Modulationsräume (u.a. Feichtingers Algebra) und Wiener Amalgam Räume
- die Zak Transformation
- die Bargmann Transformation und der Bargmann-Fock Raum
- Dualitätstheorie für Gabor Systeme
- das Balian-Low Theorem und Dichteresultate

In der Vorlesung werden teilweise Resultate präsentiert, welche dem aktuellsten Stand der Forschung entsprechen und damit einhergehende offene Probleme werden kurz besprochen.

Art der Leistungskontrolle und erlaubte Hilfsmittel

Je nach Teilnehmer*innenzahl wird es eine mündliche oder schriftliche Prüfung geben. Die Teilnehmer*innenzahl wird über die ersten VO Einheiten eruiert und die Prüfungsart festgelegt.

Mindestanforderungen und Beurteilungsmaßstab

Positives Ablegen der Prüfung.

Prüfungsstoff

Die in der Vorlesung behandelten Inhalte.

Literatur

- Gerald B. Folland. Harmonic analysis in phase space. Princeton University Press, 1989
- Maurice A. de Gosson. Symplectic Methods in Harmonic Analysis and in Mathematical Physics. Birkhäuser/Springer Basel AG, 2011
- Karlheinz Gröchenig. Foundations of Time-Frequency Analysis. Birkhäuser, Boston, MA, 2001

Es wird ebenfalls ein Skriptum zur Verfügung gestellt werden.

Zuordnung im Vorlesungsverzeichnis

MANV; MAMV;

Letzte Änderung: Fr 12.05.2023 00:21