250021 VO Selected Topics in Algebraic Number Theory (2025S)

Diese Vorlesung ist eine Einführung in die Theorie arithmetischer Gruppen mit einem Fokus auf deren Kohomologie und ihrer Bedeutung in Zahlentheorie und dem globalen Langlands Programm.

Wir beginnen mit den grundlegenden Definitionen und Sätzen über arithmetische und algebraische Gruppen, welche wir stets auch anhand von paradigmatischen Beispielen studieren wollen. Danach betrachten wir die Kohomologie arithmetischer Gruppen und interpretieren sie in darstellungstheoretischer und (differential-)geometrischer Weise.

Dabei wird – zu Anfang gewissermaßen noch „hinter den Kulissen“ – die Theorie der automorphen Formen und ihrer L-Funktionen genauso allgegenwärtig sein, wie die Theorie der deRham-Darstellungen absoluter Galois Gruppen. Als Konsequenz wird sich ein Bouquet zahlentheoretischer Phänomene ergeben, welche allesamt einen gemeinsamen Ursprung im globalen Langlands Programm haben.

Einschlägiges, explizit vorausgesetztes Vorwissen: Besuch einer Vorlesung zur Algebraischen Zahlentheorie und zur Differentialgeometrie, sowie basales Wissen über Galoistheorie (z.B. aus einer Einführungslehrveranstaltung zur Algebra). Hilfreich ist auch ein Besuch einer Vorlesung über Lie Gruppen und Lie Algebren.

Ein Besuch meiner VO „Galois Representations in Number Theory“ aus dem WS 2024/25 ist ausdrücklich nicht verpflichtend, wiewohl der zweite Teil unserer Vorlesung ein Art Fortsetzung derselben darstellt und daher für all jene, die ein weiterführendes, tieferes Verständnis der Darstellungstheorie von absoluten Galois Gruppen und ihrer Rolle und Verbindung zur Theorie der automorphen Formen erlangen wollen, von besonderem Interesse sein könnte. (Enigmatischer Hinweis: Die Kohomologie arithmetischer Gruppen „erweckt“ die abstrakte, glatte projektive Varietät X in der p-adischen Étale-Kohomologie „zum Leben“...)