250025 VO Grundbegriffe der Topologie (2016W)

Die Begriffe Umgebung und darauf aufbauend Konvergenz, Stetigkeit, Zusammenhang und Kompaktheit spielten bereits in den Vorlesungen über Analysis eine wichtige Rolle. Die mengentheoretische Topologie untersucht die Eigenschaften dieser Begriffe in grosser Allgemeinheit. Sie axiomatisiert dazu das Konzept einer Umgebung (oder äquivalent das einer offenen Menge) durch den Begriff eines topologischen Raumes, d.h. topologische Räume sind Räume in denen ein Umgebungsbegriff gegeben ist. Darauf aufbauend lassen sich die topologischen Konzepte Konvergenz, Stetigkeit, Zusammenhang, Kompaktheit ,... definieren und ihre Eigenschaften untersuchen. Durch die Allgemeinheit ihrer Begriffsbildungen
wird die Topologie in weiten Bereichen der Mathematik anwendbar und ermöglicht dann mit räumlichen Vorstellungen (gegeben durch den Begriff einer Umgebung)
zu argumentieren. Die Topologie ist damit zu einer Grundlagendisziplin der Mathematik geworden.

Inhalt der Vorlesung: Anschliessend an die Vorlesungen Analysis 1 und 2, wo topologische Begriffe erstmals auftauchen, werden wir allgemeine topologische Räume einführen und die topologischen
Grundkonzepte Konvergenz, Stetigkeit, Zusammenhang, Kompaktheit sowie Methoden zur Konstruktion topologischer Räume behandeln.

Ziele: Kenntniss der topologischen Konzepte und Methoden sowie ihrer wichtigsten Eigenschaften.
Verständnis für die Anwendbarkeit der abstrakten Begriffsbildungen der Topologie z.B. in der Analysis.