250070 VO Höhere Komplexe Analysis (2009W)

Die Vorlesung Höhere Komplexe Analysis schließt nahtlos an den ersten Teil an
und beginnt mit Eigenschaften holomorpher Funktionen, die sich aus dem
Cauchy'schen Integralsatz ergeben, sowie mit Verallgemeinerungen des
Cauchy'schen Integralsatzes (inhomogene Cauchy'sche Integralformel,
Homologie- und Homotopieversion des Cauchy'schen Integralsatzes). Der
Residuensatz mit einigen Anwendungen zur Berechnung bestimmter, reeller
Integrale und das Kapitel über analytische Fortsetzung bilden den
Abschluss der eher klassisch gehaltenen Theorie. In den folgenden
Abschnitten wird durch die Behandlung der inhomogenen Cauchy-Riemann'schen
Differentialgleichungen eine Einführung in moderne, sogenannte reelle
Methoden der Komplexen Analysis gegeben, die für die Theorie mehrerer
komplexer Veränderlicher besonders wichtig sind. So gesehen ist der
gewählte Zugang auch als Vorbereitung für die Komplexe Analysis mehrerer
Veränderlicher aufzufassen, die dann auch in einer Fortsetzung zur
Vorlesung Höhere Komplexe Analysis angeboten wird. Es werden allgemeine
Versionen der Sätze von Runge, Mittag-Leffler und Weierstraß erarbeitet,
unter Verwendung von funktionalanalytischen Methoden (Satz von
Hahn-Banach) und von modernen Begriffen, wie holomorpher Konvexität und
Kohomologie. Die Vorlesung endet mit einer umfassenden Charakterisierung
des topologischen Begriffes des einfachen Zusammenhangs durch
Eigenschaften holomorpher Funktionen und mit einem kurzen Abriss der
Theorie harmonischer Funktionen (Dirichlet-Problem).
Zur Vorlesung gibt es ein Skriptum, das auch die Übungsbeispiele enthält.