250087 VO Advanced topics in global number theory (2024S)

Diese Vorlesung ist eine Einführung in die Theorie der unitären Darstellungen von GL(n) über dem Adelring und ihre herausragende Rolle in der modernen Zahlentheorie.

Wir beginnen mit grundlegenden Konzepten (z. B. Was ist der Adelring?), erläutern fundamentale Konzepte der Darstellungstheorie lokal kompakter Gruppen und konzentrieren uns dann auf die Gruppe unseres Interesses, die Gruppe GL(n) über den Adelen.

Eine herausragende Rolle wird hier das cuspidale Spektrum von GL(n) einnehmen – eine unitäre Darstellung quadratintegrierbarer Funktionen auf einem bestimmten Raum, die von höchster zahlentheoretischer Bedeutung ist. Wir werden – in Analogie zu GL(1) – sehen, dass das cuspidale Spektrum von GL(n) als unendliche direkte Summe von irreduzible unitäre Darstellungen zerfällt: Die cuspidalen „automorphen“ Darstellungen von GL(n).

Diese globalen automorphen „Bausteine“ zerfallen jedoch noch weiter: Sie sind nämlich das unendliche Tensorprodukt lokaler irreduzibler unitärer Darstellungen, eine für jede Stelle des Körpers der rationalen Zahlen! Diese abschließende Beobachtung, die eines der Hauptziele der Vorlesung sein wird, schließt den Kreis zurück zur modernen Zahlentheorie.