Universität Wien

250113 VO Topics in Number Theory (2023S)

3.00 ECTS (2.00 SWS), SPL 25 - Mathematik

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Information

Ziele, Inhalte und Methode der Lehrveranstaltung

In dieser Vorlesung werden wir ausgewählte Aspekte der Darstellungstheorie von GL(n) über dem Körper der rationalen Zahlen Q und ihrer Verbindungen zur modernen Zahlentheorie studieren, was die Untersuchung einer breiten und konzeptuellen Verallgemeinerung der Riemann’schen Zeta Funktion, Modulformen und Klassenkörpertheorie einschließt.

Wir beginnen mit dem Studium des (topologischen) Rings der Adèle über Q, gefolgt von dem seiner Einheitengruppe, Idèle genannt, und derer irreduziblen Darstellungen. Zu diesen Darstellungen kann man gewisse L-Funktionen assoziieren, so genannte „Hecke L-Funktionen“, welche in ihrem analytischen Verhalten große Teile der Arithmetik der rationalen Zahlen kodieren – wobei das „einfachstes“ Beispiel einer solchen L-Funktion die Riemann’sche Zetafunktion darstellt.

Danach widmen wir uns der Matrizen-Gruppe GL(n), welche selbst einer Verallgemeinerung des obigen Setups darstellt (der Fall der Idèle ist jener von GL(1)). Die hier relevanten Darstellungen sind die „automorphen Darstellungen“, welche im Allgemeinen unendlich dimensional sind. Ihre zugehörigen L-Funktionen, welche nun „automorphe L-Funktionen“ genannt werden, sind mysteriöse Studienobjekte, welche von zentraler Bedeutung in der heutigen Zahlentheorie sind: So reproduziert zum Beispiel der Fall von GL(2) die gesamte Theorie der Modulformen und ihrer L-Reihen. Wir planen ein paar Schlaglichter auf die, den automorphen Darstellungen und ihren L-Funktionen, inhärenten Eigenschaften zu richten und so deren Beziehung zur Zahlentheorie zu beleuchten.

Nötiges Vorwissen: Grundlegende Konzepte aus der (algebraischen) Zahlentheorie, der Topologie und grundlegendes Wissen über die reelle Analysis in mehreren Veränderlichen.

Art der Leistungskontrolle und erlaubte Hilfsmittel

Mündliche Prüfung am Ende des Semesters nach Vereinbarung.

Mindestanforderungen und Beurteilungsmaßstab

Gutes Wissen über die zentralen, in der Vorlesung vermittelten Konzepte und die Fähigkeit, diese in gewissen Beispielen anzuwenden. Es gilt der übliche Prüfungsstandard von Master-Vorlesungen.

Prüfungsstoff

Der präsentierte Inhalt der Vorlesung. Etwaige Ausnahmen (so es sie überhaupt geben wird) würden im Laufe der Vorlesung bekanntgegeben.

Literatur

J. Neukirch "Algebraic Number Theory" Springer (1999)
D. Goldfeld, J. Hundley, "Automorphic Representations and L-Functions for the General Linear Group" I & II, Cambridge Univ. Press (2011)
D. Bumb, "Automorphic Forms and Representations" Cambridge Univ. Press (1998)

Zuordnung im Vorlesungsverzeichnis

MALV

Letzte Änderung: Di 12.09.2023 08:07