Universität Wien

250167 VO Select. Top. in PDE (Schröd. and Klein-Gordon Eq.) (2005W)

Dispersion and Attractors for Linear and Nonlinear Schrödinger and Klein-Gordon Equations

0.00 ECTS (4.00 SWS), SPL 25 - Mathematik

Vorbesprechung: October 6 and 7, 10.00 - 12.00 and 16.00 - 18.00, Nordbergstrasse 15, room A 109.

Details

Sprache: Deutsch

Lehrende

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  • Mittwoch 12.10. 17:00 - 19:00 Seminarraum
  • Freitag 14.10. 14:00 - 16:00 Seminarraum
  • Mittwoch 19.10. 17:00 - 19:00 Seminarraum
  • Freitag 21.10. 14:00 - 16:00 Seminarraum
  • Freitag 28.10. 14:00 - 16:00 Seminarraum
  • Freitag 04.11. 14:00 - 16:00 Seminarraum
  • Mittwoch 09.11. 17:00 - 19:00 Seminarraum
  • Freitag 11.11. 14:00 - 16:00 Seminarraum
  • Mittwoch 16.11. 17:00 - 19:00 Seminarraum
  • Freitag 18.11. 14:00 - 16:00 Seminarraum
  • Mittwoch 23.11. 17:00 - 19:00 Seminarraum
  • Freitag 25.11. 14:00 - 16:00 Seminarraum
  • Mittwoch 30.11. 17:00 - 19:00 Seminarraum
  • Freitag 02.12. 14:00 - 16:00 Seminarraum
  • Mittwoch 07.12. 17:00 - 19:00 Seminarraum
  • Freitag 09.12. 14:00 - 16:00 Seminarraum
  • Mittwoch 14.12. 17:00 - 19:00 Seminarraum
  • Freitag 16.12. 14:00 - 16:00 Seminarraum
  • Mittwoch 11.01. 17:00 - 19:00 Seminarraum
  • Freitag 13.01. 14:00 - 16:00 Seminarraum
  • Mittwoch 18.01. 17:00 - 19:00 Seminarraum
  • Freitag 20.01. 14:00 - 16:00 Seminarraum
  • Mittwoch 25.01. 17:00 - 19:00 Seminarraum
  • Freitag 27.01. 14:00 - 16:00 Seminarraum

Information

Ziele, Inhalte und Methode der Lehrveranstaltung

I. Asymptotische Methoden:

i) Methode der stationären Phase.

ii) WKB Approximation: Hamilton-Jacobi Gleichung, Rays and Kaustiken,
Transportgleichungen, Stokes Phänomen.

iii) Anwendungen in der Akustik, Schrödinger und Klein-Gordon Gleichung:
lokaler Energieabfall, Geometrische Optik, Wave packets,
Gruppengeschwindigkeit, Energieausbreitung.

Ref: [1-5].

II. Globale Attraktoren von nichtlinearen hyperbolischen PDEs

i) 1D Klein-Gordon Feld gekoppelt an einen nichtlinearen Oszillator:

a) Aufspaltung in dispersive und beschränkte Komponenten

b) lokaler Energieabfall der dispersiven Komponente

c) Quasimaße und Multiplikatoren

d) Kompaktheit der Trajektorie

e) Nichtlineare Spektralanalysie der omega-limiting Trajektorien:

Grenzgleichung und das Titchmarsh Faltungs-Theorem.

Ref: [6], [7] (Chapter 3).

ii) 3D Wellengleichung gekoppelt an ein relativistisches Teilchen

in Gegenwart eines externen Potentials.

a) Li\'enard-Wiechert Integraldarstellung,

b) Energiefluss nach Unendlich,

c) Faltungsdarstellung und das Wiener Tauber Theorem:

Strahlungsdämpfung,

d) Omega-limiting Zustände.

Ref: [7] (pp 37-41), [8].

Art der Leistungskontrolle und erlaubte Hilfsmittel

Mindestanforderungen und Beurteilungsmaßstab

Es soll eine Einführung in die moderne Theorei der Attraktoren nichtlinearer hyperbolischer PDEs gegeben werden:
oszillatorische Integrale, Dispersion and Energiestreuung, harmonische Analysis, globale Attraktoren.

Prüfungsstoff

Methode der stationären Phase, Hamilton-Jacobi Gleichung,
Paley-Wiener Theorie, Quasimaße, Titchmarsh Faltungs-Theorem,
Energieausbreitung, Wiener Tauber Theorem.

Literatur

[1] M.V.Fedoryuk, Asymptotic Analysis: Linear Ordinary Differential Equations, Springer, Berlin, 1993.

[2] M.Fedoryuk, Partial Differential Equations V. Asymptotic Methods for Partial Differential Equations,
Encyclopaedia of Mathematical Sciences Vol. 34, Springer, Berlin, 1999.

[3] Komech, Linear Partial Differential Equations with Constant Coefficients, p.127-260 in: Yu.V.Egorov, A.I.Komech, M.A.Shubin, Elements of the Modern Theory of Partial Differential Equations, Springer, Berlin, 1999.

[4] I.M.Gel'fand, G.E.Shilov, Generalized Functions. Vol. I:
Properties and Operations, Academic Press, New York, 1964.

[5] A.Komech, Lectures on Quantum Mechanics (nonlinear PDE point of view), preprint of Max-Planck Institute for Mathematics in the Sciences, No. 25/2005, 2005.
http://www.mis.mpg.de/preprints/ln/lecturenote-2505-abstr.html,
http://arxiv.org/abs/math-ph/0505059.

[6] A.Komech, On attractor of a singular nonlinear U(1)-invariant Klein-Gordon equation, p. 599-611 in: Proceedings of the 3rd ISAAC Congress, Freie Universität Berlin, Berlin, 2003.

[7] A.Komech, On Global Attractors of Hamilton Nonlinear Wave Equations, preprint of Max-Planck Institute for Mathematics in the Sciences, No. 24/2005, 2005.
http://www.mis.mpg.de/preprints/ln/lecturenote-2405-abstr.html

[8] A.Komech, H.Spohn, M.Kunze, Long-time asymptotics for a classical particle interacting with a scalar wave field, Comm. Partial Diff. Eqns., 22 (1997), no. 1/2, 307-335.

Zuordnung im Vorlesungsverzeichnis

Letzte Änderung: Mo 07.09.2020 15:40