250398 VO Algebra für LAK (2006S)

Die Algebra beschäftigt sich mit Mengen,auf welchen Operationen definiert sind, die gewissen Axiomen genügen. Dabei erhält man sog. algebraische Strukturen, wie: Halbgruppen, Gruppen, Ringe, Körper, etc. Als Ausgangspunkt für die verschiedenen Abstraktionen soll hier der Ring der ganzen Zahlen mit der üblichen Addition und Multiplikation dienen. Grundlegende Eigenschaften von (Z,+, .) werden in Kap.I hergeleitet (elementare Zahlentheorie). Kap.II (Gruppen) bringt Homomorphismen, Untergruppen, Nomalteiler, Faktorgruppen, Permutationsgruppen und zyklische Gruppen. In Kap.III (Ringe) werden mittels der Begriffe
Homorphismus, Ideal und Faktorring verschiedene Typen von Ringen, wie:
Integritätsringe, Euklidische-, Hauptideal- bzw. ZPE-Ringe untersucht. Insbesonders wird das konkrete Beispiel des Polynomrings über einem
kommutativen Ring (speziell über einem
Körper) eingehend behandelt, wobei die Frage nach den Nullstellen eines Polynoms und dessen Zerlegung in irreduzible Faktoren untersucht wird. Kap.IV (Körper) bringt Körpererweiterungen, algebraisch abgeschlossene Körper, Zerfällungskörper von Polynomen, bzw. endliche Körper, und als
Anwendung das Problem der Konstruktion reeller Zahlen mit Zirkel und Lineal (Quadratur des Kreises, Dreiteilung eines Winkels, regelmäßige n-Ecke, etc).