260034 VO Einführung in die Vektor- und Tensorrechnung I (2021W)

Ziele:
Die Studierenden erkennen die wichtige Rolle von Skalaren und Vektoren in Physik und Geometrie. Im Zusammenhang mit der Komponentendarstellung von Vektoren werden die Studierenden mit der wichtigen Indexschreibweise und der Einsteinschen Summationskonvention vertraut gemacht. Durch Verallgemeinerung des Vektorbegriffes werden Tensoren eingeführt, die in der Physik ebenfalls häufig verwendet werden. Vektoren und Tensoren werden durch ihr Verhalten bei Transformationen der Vektorbasis charakterisiert. Die Studierenden lernen die Definitionen des skalaren und des vektoriellen Produktes zweier Vektoren für allgemeine Basisvektoren, sowie für den Spezialfall orthonormierter Vektorbasen kennen. Dabei werden die Studierenden mit der Bedeutung des Metriktensors und des ε-Tensors vertraut gemacht und erkennen den wichtigen Unterschied zwischen polaren und axialen Vektoren. Die Studierenden lernen wichtige Anwendungen von Tensoren in Mechanik und Elektrodynamik kennen. Schließlich werden die Studierenden mit den wichtigsten Vektordifferenzial-operatoren und deren praktischen Anwendungen vertraut gemacht.

Inhalte:
Addition und Multiplikation von Skalaren und Vektoren und zugehörige geometrischen Interpretationen. Definition des Vektorraumes. Linearer Zusammenhang von Vektoren und Dimension eines Vektorraumes. Basisvektoren und Komponentendarstellung von Vektoren, Indexschreibweise, Einsteinsche Summationskonvention, physikalische Komponenten. Skalarprodukt zweier Vektoren und Metriktensor. Kovariante und kontravariante Vektorbasen und Vektorkomponenten. Indexoperationen: Hinaufziehen, Herunterziehen und Austausch von Indizes. Transformationen von Basisvektoren und Vektorkomponenten. Definition von Vektoren und Tensoren auf Grund ihres Transformationsverhaltens. Tensoralgebra und ihre Anwendungen: Spannungstensor, Verzerrungstensor, Tensor der Elastizitäts-Moduln, Tensor der Dielektrizitätskonstanten etc. Orientierung von Vektorbasen, Spiegelungstransformationen, Pseudotensoren, axiale Vektoren. Vektorprodukt zweier Vektoren und ε-Tensor. Anwendungen von Pseudovektoren: Winkelgeschwindigkeit, Drehimpuls und Drehmoment, magnetische Flussdichte und Lorentzkraft. Definition von Vektorfeldern, Fluss und Zirkulation, Definition der Vektordifferenzialoperatoren Gradient, Divergenz und Rotation. Integralsätze von Stokes und Gauss und Anwendungen auf Vektorfelder in Hydrodynamik und Elektrodynamik.

Methode:
Vorlesung mit vorwiegender Verwendung der Tafel, Gelegenheit zu Fragen und Diskussion. Mehrere Beispiele werden erwähnt, bei denen der Vorlesungsstoff von den Studierenden selbstständig angewendet werden kann.
Von der Vorlesung existiert eine Videoaufzeichnung, die auf YouTube verfügbar ist.