260203 VO Einführung in die Vektor- und Tensorrechnung II (2021S)

Ziele:
Die Studierenden werden mit krummlinigen Koordinaten, den zugehörigen Basisvektoren und deren Transformationsverhalten vertraut gemacht. Ausgehend von Bogenlänge und Metriktensor erkennen sie die Bedeutung des Riemannschen Raumes. Im Zusammenhang mit der Beschreibung der räumlichen Veränderlichkeit von Vektoren erwerben die Studierenden ein fundiertes Verständnis der kovarianten Ableitung und deren Anwendungen auf einfache physikalische Probleme. Die kovariante Ableitung führt auch zu einer Charakterisierung der Krümmung eines Riemannschen Raumes.
Inhalte:
Darstellung von Kurven und Flächen, Tangenten- und Normalenvektoren. Krummlinige Koordinatensysteme, Definitionen von Koordinatenlinien und Koordinatenflächen, sowie kovarianten und kontravarianten Vektorbasen, Transformationsverhalten. Bogenlänge, Definition des Metriktensors, Riemannscher Raum, flacher Raum, Euklidischer Raum. Definition der kovarianten Ableitungen von Skalaren und Vektoren, Definition der Christoffelsymbole, Vektordifferentialoperatoren in krummlinigen Koordinaten, Anwendungen auf zylinder- und kugelsymmetrische physikalische Probleme. Eigenschaften der kovarianten Ableitung, höhere kovariante Ableitungen, Riemannscher Krümmungstensor, Einsteintensor, Parallelentransport von Vektoren.
Methode:
Vorlesung mit vorwiegender Verwendung der Tafel, Gelegenheit zu Fragen und Diskussion. Mehrere Beispiele werden erwähnt, bei denen der Vorlesungsstoff von den Studierenden selbstständig angewendet werden kann.