877845 VO Ausgewählte Kapitel aus Wahrscheinlichkeitstheorie (2005S)

Eines der interessantesten Teilgebiete der Wahrscheinlichkeitstheorie mit vielfachen
Anwendungen in der Physik ist das Studium zufälliger Graphen (auch Perkolationstheorie genannt):
Man betrachtet z.B. Z^2 und zeichnet zwischen je zwei unmittelbar benachbarten Punkten
einen Weg, der mit Wahrscheinlichkeit p passierbar und mit Wahrscheinlichkeit 1 - p unpassierbar ist.
(1) Wenn man die Menge aller von einen Punkt n in Z^2 aus entlang offener Wege erreichbaren
Punkte m in Z^2 als die Zusammenhangskomponente C(n) von n bezeichnet, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit (p) des Ereignisses, daß C(0, 0) unendlich ist? Diese Wahrscheinlichkeit
hängt offensichtlich von p ab, denn für p = 0 ist C(0, 0) = {(0, 0)} fast sicher, und für p = 1 ist
C(0, 0) = Z^2 fast sicher.
(2) Die Menge der Zusammenhangskomponenten C(n) mit n in Z^2 ist offensichtlich eine Partition von Z^2. Aus wie vielen Elementen besteht diese Partition (wiederum in Abhängigkeit von p)?
Wir werden unter anderem folgende Resultate zeigen.
(a) Es gibt einen kritischen Wert pc in (0, 1), unterhalb dessen (p) = 0 ist und oberhalb
dessen (p) > 0 ist.
(b) Für p > pc gibt es mit Wahrscheinlichkeit 1 genau eine unendliche Zusammenhangskomponente.
Weitere Themen:
Perkolation in Z^d mit d > 2.
Modelle mit Wechselwirkungen (z.B. orientierte Perkolation und das ¿Wählermodell¿).
Das Ising Modell (ohne Voraussetzung von Physikkenntnissen!).