250008 VO Stochastic Processes (2005W)

Ein stochastischer Prozess mit diskreter
Zeit ist eine Folge X(n), n=0,1,2,..., von
Zufallsvariablen, deren Werte alle in derselben
Menge S, dem Zustandsraum, liegen. Man nennt X(n)
den Zustand des Prozesses zum Zeitpunkt n. Als
Beispiel kann man einen Spieler nehmen, der
wiederholt dasselbe Glücksspiel spielt. Wenn
X(n) den Kontostand des Spielers zum Zeitpunkt n
in Euro darstellt, so kann man S als die Menge
{0,1,2,...} wählen. Wenn der Spieler mit einem
Würfel würfelt und X(n) das Resultat des n-ten
Wurfs ist, so ist S={1,2,3,4,5,6}, usw.

Ein stochastischer Prozess mit kontinuierlicher
Zeit ist eine Familie X(t), t"0, von
Zufallsvariablen, deren Werte alle in derselben
Menge S liegen. Wiederum ist X(t) der Zustand des
Prozesses zum Zeitpunkt t. Als Beispiel könnte
man die Länge der Warteschlange vor einem
Fahrkartenschalter nehmen. Da diese 'Länge' die
Anzahl der Personen in der Warteschlange ist, ist
S={0,1,2,...}.

Durch Vorgabe gewisser Gesetzmässigkeiten, nach
denen der Prozess abläuft, erhält man
verschieden Typen von Prozessen, z.B.
Markovketten oder Erneuerungsprozesse. Mit beiden
Klassen wird sich diese Vorlesung eingehend
beschäftigen.