250112 VU Mathematical modelling (2025S)

Mathematische Modelle im weiteren Sinn werden in allen Wissenschaften verwendet. Wir präsentieren einige grundlegende Konzepte mit ihren Stärken und Grenzen. Diese Lehrveranstaltung ist nicht nur für Bachelor Mathematik, sondern auch Studierende aller Bachelor und Master in MINT und Digital Sciences geeignet, die sich für mathematische Konzepte interessieren und Grundlagen von Analysis kennen.

Die primären Modelle der Mathematik sind in der Physik, wo die Vorlesung eine auf MathematikerInnen zugeschnittene Einführung bietet. Begriffe wie „Energie“, die in vielen Bereichen verwendet werden, können nur mit mathematischen „Formeln“ sauber modelliert werden.
Dabei sind (partielle) Differentialgleichungen eine wichtige Klasse von Modellgleichungen, vom 2. Newton’schen Gesetz über Schwingungs- und Wellengleichungen bis zur Hydrodynamik mit Navier-Stokes Gleichungen.

Wir diskutieren auch „Numerische Modellierung", die in fast allen Anwendungen gemacht wird und wo die beiden Begriffe "Modellgleichung" und "numerische Lösung" vermischt werden, die mathematisch streng betrachtet getrennt sind. Weiters werden die Grundideen von "Statistischer Modellierung" und "Machine learning" kurz präsentiert.

Skriptum der Vortragenden wird jeweils vor der Vorlesung an die Studierenden gesandt (per e-mail, moodle) und als Papierkopie ausgeteilt, dazu ergänzende Skripten.

Es werden regelmässig Beispiele zum Stoff ausgeteilt, die selbst erarbeitet und präsentiert werden.

A) Mathematische Modellierung in der Physik:
0) Formel -> Funktion -> (Differential)gleichung.
1) grundlegende Modelle:
1a) Teilchen-Mechanik, (Dreh)Impuls/erhaltung, Energie/erhaltung,
Bewegungsgleichungen: gewöhnliche Differentialgleichungen,
Gravitationskraft, Elektrostatik: Newton'sches Potential
1b) Kontinuums-Mechanik: partielle Differentialgleichungen
1c) Schwingungsgleichung, Einführung Fourierentwicklungen,
Wellengleichung

2) Modellhierarchien:
2a) Skalierung von Modellgleichungen, dimensionslose (kleine) Parameter
2b) Paradebeispiel: "der senkrechte sehr hohe Wurf"
2c) reduzierte Gleichung und Störungstheorie:
reguläre Störungen - "asymptotische Entwicklungen";
singuläre Störungen – „Grenzschichten“
2d) Störungen der Schwingungsgleichung
2e) Methode der multiplen Skalen

3) Mathematische Modelle für Flüssigkeiten und Gase
3a) Lagrange / Euler Koordinaten, Materialableitung
3b) fundamentale Gleichungen der Kontinuumsmechanik:
Herleitung aus Erhaltung von Masse, (Dreh)Impuls, Energie
3c) (in)kompressible Euler und Navier-Stokes Gleichungen
3d) geophysikalische Flüsse