250129 VO Algebraic Power Series (2018S)

Die Vorlesung befasst sich mit formalen Potenzreihen in mehreren Variablen unter verschiedenen Gesichtspunkten (5A):

Algebraisch,
Arithmetisch,
Analytisch,
Asymptotisch,
Algorithmisch.

Dabei wird die Reihe entweder als Funktion betrachtet, oder aber als Folge ihrer Koeffizienten. In beiden Fällen kombiniert man Methoden der algebraischen Geometrie, der kommutativen Algebra, der Kombinatorik und der asymptotischen Analysis.

Eine Potenzreihe heisst algebraisch, wenn sie eine polynomiale Gleichung mit polynomialen Koeffizienten erfüllt, also algebraisch über K[x_1,...,x_n] ist. Solche Reihen haben oft überraschende Eigenschaften, etwa bezüglich ihrer Approximation durch rationale Funktionen. Insoweit kann die Vorlesung als eine Ausweitung der algebraischen Zahlentheorie auf Potenzreihenringe verstanden werden.

Beispiel 1: Wird eine formale Potenzreihe gut durch rationale Funktionen approximiert, ist sie entweder selbst rational oder transzendent (also nicht algebraisch).

Beispiel 2: Ist die Menge der Koeffizienten endlich, so ist die Potenzreihe rational oder transzendent.

Beispiel 3: In einer algebraischen Potenzreihe mit rationalen Koeffizienten tauchen in den Nennern nur endlich viele Primteiler auf (Satz von Eisenstein).

Beispiel 4: Jede algebraische Potenzreihe in einer Variablen ist die Diagonale einer rationalen Funktion in zwei Variablen (Satz von Polya-Furstenberg).

Beispiel 5: Die Koeffizienten einer algebraischen Potenzreihe mit Koeffizienten in einem endlichen Körper lassen sich durch Automata (spezielle Turing-Maschinen) erzeugen (Satz von Christol).

Die Vorlesung dient insbesondere als Einführung und Vorbereitung für Masterarbeiten.